Fonction de production type Green et Ampt

Ce modèle décrit à l'origine un processus hortonien d'infiltration de l'eau dans le sol, à l'aide d'hypothèses très simplifiées caractérisées par un front d'humectation très marqué, une zone de transmission dont la teneur en eau est constante dans le temps, et par un potentiel de pression matricielle à l'aval du front également constant dans le temps. Ces approximations s'appliquent de manière assez satisfaisante dans certains cas d'infiltration dans des sols initialement secs, à texture grossière. L'expression de l'infiltration est (Musyet Soutter,1991; Handbook of Hydrology,1993) :

	=	capacité d'infiltration [L/T]
F(t)	=	infiltration cumulée [L]
Δθ = θs- θi	=	différence entre humidité à saturation et humidité initiale [ad.]
Ks	=	conductivité hydraulique à saturation [L/T]
Ψ	=	potentiel matriciel au niveau du front d'humectation [L]

Ce schéma a été repris dans MERCEDES, et complété par un réservoir sol, dont le niveau décrit l'évolution du stock hydrique en continu. Le réservoir est alimenté par l'eau qui s'infiltre, et il est vidangé par la reprise évaporatoire et la percolation vers la nappe profonde. La vidange est calculée globalement à l'aide du modèle du réservoir linéaire.

Depuis la version 4.0, une profondeur de sol maximale a été introduite comme paramètre supplémentaire, afin de pouvoir générer un ruissellement par saturation de l'ensemble du profil vertical du sol. Cette profondeur est exprimée comme une capacité maximale du réservoir sol, en équivalent eau. Le schéma de Green & Ampt ainsi modifié est susceptible de représenter un processus de ruissellement par saturation du sol.

Egalement depuis la version 4.0, il est possible de définir la proportion des apports amont pris en compte dans l'application du schéma de production. Cet aménagement n'est utilisable que pour les fonctions de transfert à mailles interactives, type onde cinématique. Dans ce cas, le schéma de production s'applique à la pluie reçue par la maille, augmentée des apports dus aux débits des mailles immédiatement en amont.

 

 

 

Les équations du schéma sont ainsi :

Capacité infiltrable

La capacité infiltrable en début d'épisode Hi est calculée en fonction de la capacité maximale infiltrable Ho, et de l'état de saturation du sol, où θs désigne l'humidité volumique à saturation et θi l'humidité volumique initiale :

Infiltration

L'intensité d'infiltration est fonction du niveau du réservoir sol

où S(t) désigne le niveau du réservoir sol, et se substitue à la quantité infiltrée F(t). On retrouve S(t) = F(t) en l'absence de vidange.

Le niveau du réservoir étant borné par Hi, l'intensité d'infiltration réelle est égale à f(t) si S(t) est inférieure à Hi, ou à 0 sinon. Donc,

		si S(t) < Hi
	f(t) = 0	sinon

                                                          

Ruissellement

Le ruissellement R est égal à la pluie reçue par la maille, diminuée de l'infiltration à la surface de la maille.

où i(t) représente l'intensité de la précipitation, et f(t) l'intensité de l'infiltration

Lorsque le schéma est couplé avec une fonction de transfert à mailles interactives (type onde cinématique), le ruissellement est égal à la pluie reçue par la maille, augmentée d'une partie des débits en provenance des mailles amont, et diminuée de l'infiltration à la surface de la maille

où A est la superficie de la maille.

Si γ=0, alors le schéma de production ne s'applique qu'à la pluie reçue par la maille, et les apports des mailles amont sont intégralement transférés vers les mailles aval.

Si γ=1, alors la totalité des apports amont est susceptible d'être infiltrée, en fonction de l'état de remplissage du réservoir sol du schéma de production.

NB : le paramètre γ est un paramètre de transfert (transfert à mailles interactives)

Dynamique du réservoir

Le réservoir sol est alimenté par l'infiltration, et vidangé par une intensité proportionnelle au niveau du réservoir :

Le niveau du réservoir est calculé en combinant l'équation précédente avec l'équation de continuité :

Le niveau initial du réservoir S(ti), au début ti de l'épisode, est égal à :

	S(ti)=0	en mode non continu
	S(ti)=S(ti-1).exp(-ds(ti-ti-1))	en mode continu

où t_i-1 désigne la date de fin de l'épisode précédent

Ecoulement retardé

On considère que l'écoulement retardé (résultant de transferts lents dans la sub-surface, susceptibles de rejoindre les exutoires des bassins considérés), peut être représenté comme une fraction ω de la vidange du réservoir sol. :

où ω est un coefficient compris entre 0 et 1

L'autre fraction de la vidange, 1-ω, est considérée comme "perdue" par évaporation ou percolation vers les réservoirs profonds, et n'est pas comptabilisée à l'exutoire des bassins.

L'écoulement retardé est une quantité produite à l'échelle de la maille, et acheminée ensuite à l'exutoire du bassin par la même fonction de transfert que celle utilisée par le ruissellement de surface.

Cette conceptualisation de l'écoulement retardé est surtout adaptée au mode de transfert à mailles indépendantes. Dans le cas d'un mode de transfert à mailles interactives, il est possible de simuler plus physiquement l'écoulement de sub-surface, en utilisant un modèle de type onde cinématique appliqué à 2 couches, surface et sub-surface.

Ruissellement total

Le ruissellement R_T total produit par une maille à l'instant t est égale à la somme du ruissellement de surface et de l'écoulement retardé, soit :

RT(t) = R(t) + Er(t)

PARAMETRES ET UNITES

Le modèle comporte 7 paramètres: θi, θs,  K_s, Ψ, Ho, ω, ds

θi, en cm3/cm3 = humidité volumique initiale du sol. Les valeurs varient théoriquement entre 0 et θs.

θs, en cm3/cm3 = humidité volumique du sol à saturation. Les valeurs varient théoriquement de 0 à 1 (pratiquement de 0.3 à 0.7) selon les sols et selon l'humidité initiale. Par exemple, la teneur en eau volumique à saturation est de l'ordre de 0.4-0.5 pour les sols sableux, 0.5 pour les sols à texture moyenne, 0.6 pour les sols argileux.

K_s, en mm/h = conductivité hydraulique à saturation. Ces conductivités peuvent varier de façon considérable, de 10⁵ à 10^-6 mm/h. On retient généralement des valeurs de 10³ à 10²mm/h pour les sols sableux, de 10² à 10^-1 mm/h pour les sols argileux. On peut également utiliser des formules comme celles de Kozeny-Karman ou Allen-Hazen, même si leur efficacité semble très limitée (Musy et Soutter, 1991).

Ψ , en mm = potentiel matriciel au niveau du front d'humidification. Les valeurs de ce paramètre se situent globalement entre 100 et 1500 mm, et sont assez difficiles à déterminer précisément. On trouve dans Handbook of Hydrology (5-15, 5-37) une méthode d'estimation de ce paramètre à partir de la formulation de Brooks-Corey.

Ho, en mm = capacité maximale de stockage du sol, exprimée en équivalent eau. Cette quantité correspond théoriquement au produit de la profondeur du sol par sa porosité moyenne.

ω, ad. = fraction de la vidange qui participe au ruissellement, sous forme d'exfiltration. Ce paramètre traduit l'écoulement retardé qui provient de la vidange des profils supérieurs des sols, et doit être calé sur des décrues observées.

ds, en jour^-1= coefficient de la vidange exponentielle de la lame infiltrée, simulant la vidange du réservoir sol (évaporation, percolation, ruissellement hypodermique). Une valeur 1 conduit à un taux journalier de vidange de 63% (=1-exp(-1)), et à un taux horaire de vidange de 4% (=1-exp(-1/24)). Les valeurs de DS sont théoriquement comprises entre 0 (pas de vidange) et ∞ (vidange complète du réservoir à chaque pas de temps de calcul. En pratique, DS peut être assimilé à la pente de la décrue, représentée en coordonnées logarithmique.

Remarque : les relations proposées pour la prédétermination des paramètres apparaissent ici à titre indicatif, et peuvent s'avérer inadaptées pour des raisons liées à l'hétérogénéité des sols, à la variabilité spatiale de ces sols à la surface d'un bassin, à l'adéquation du modèle pour décrire les processus d'infiltration. Il est donc recommandé de caler le modèle à partir d'observations locales.

RESOLUTION NUMÉRIQUE DISCRETISEE

La quantité précipitée au cours du pas de temps Δt, entre t et t+Δt, est égale à :

Les apports amont (comptabilisés si mode transfert mailles interactives) sont égaux à :

où Q_amont(t) est le débit amont au début du pas de temps

La quantité infiltrée au cours du pas de temps Δt est égale à :

où f(t) est l'intensité d'infiltration au début du pas de temps

Le ruissellement de surface est égal à :

La variation du niveau du réservoir au cours du pas de temps Δt est résolue par un schéma explicite :

où Vid(Δt)désigne le volume vidangé entre les instants t et t+Δt.

NB : Si le flux d'infiltration est nul au cours du pas de temps Δt, la variation du niveau du réservoir est donnée exactement par :

La fraction exfiltrée  de la vidange Er(Δt) est égale à  :

Le ruissellement total produit par une maille entre les instants t et t+Δt est égal à :

Références bibliographiques :

Musy A., Soutter M., 1991. Physique du sol. PPUR presses polytechniques, 335 pages

HANDBOOK OF. HYDROLOGY, 1993. David R. Maidment. Editor in Chief. McGRAW-HILL, INC. New York...