Fonctions de transfert – Mailles interactives

En mode maille interactives, MERCEDES propose 3 fonctions de transfert, couplant chacune un écoulement de surface et un écoulement de sub-surface. Ces 3 fonctions diffèrent principalement par le type de section utilisé pour l’écoulement de surface : rectangulaire, triangulaire, géomorphologique (le type géomorphologique propose une section rectangulaire, dont la largeur est calculée pour chaque maille à l’aide de la pente de la maille et de la superficie drainée en amont de la maille). Dans tous les cas, l’écoulement de surface est calculé à l’aide du modèle de l’onde cinématique, et l’écoulement de sub-surface à l’aide du modèle de Darcy.

Les fonctions proposées dans MERCEDES sont :

Onde cinématique rectangulaire + Darcy (6 paramètres) :

K: coefficient de rugosité de Strickler du lit mineur, en m1/3.s-1
λ : largeur du lit mineur rectangulaire, en m
Pc 
: profondeur du lit mineur rectangulaire, en m
γ : coefficient de contribution des apports amont au calcul du volume infiltré, adimensionnel
K
: conductivité hydraulique latérale, en mm.h-1
K
: coefficient de rugosité de Strickler du lit majeur, en m1/3.s-1

Onde cinématique triangulaire + Darcy (7 paramètres) :

K: coefficient de rugosité de Strickler du lit mineur, en m1/3.s-1
λ 
: largeur du lit mineur triangulaire, en m
Pc 
: profondeur du lit mineur rectangulaire, en m
γ : coefficient de contribution des apports amont au calcul du volume infiltré, adimensionnel
K
: conductivité hydraulique latérale, en mm.h-1
K
: coefficient de rugosité de Strickler du lit majeur, en m1/3.s-1
i
: pente transverse du lit majeur, en m.m-1

Onde cinématique géomorphologique + Darcy (8 paramètres)

K: coefficient de rugosité de Strickler du lit mineur, en m1/3.s-1
λ
: coefficient de largeur, en m.km-2
Pc 
: profondeur du lit mineur rectangulaire, en m
γ 
: coefficient de contribution des apports amont au calcul du volume infiltré, adimensionnel
K
: conductivité hydraulique latérale, en mm.h-1
K
: coefficient de rugosité de Strickler du lit majeur, en m1/3.s-1
α 
: exposant de la pente de la maille, adimensionnel
β 
: exposant de la superficie de la maille, adimensionnel

L’onde cinématique géomorphologique propose une section de type rectangulaire, dont la largeur λ est calculée pour chaque maille par :

λ λ0.iα.Sβ

où i désigne la pente de la maille (en m.m-1), et S la superficie drainée en amont de la maille (en km2)

NB : pour chacune des fonctions, les pentes des mailles sont calculées par le modèle à partir du MNT ou lues dans le fichier des pentes éventuellement déclaré dans le menu 1 de Mercedes. Le lit mineur et le lit majeur ont la même pente pour chaque maille.

NB : les directions de drainage des mailles sont identiques pour les écoulements de surface et de sub-surface, et sont déterminées par le fichier de drainage déclaré dans le menu 1 de MERCEDES

NB : pour désactiver l’écoulement de sub-surface, on choisira Ks = 0

NB K= 0 signifie conventionnellement que Ksera fixé égal à K1


Ecoulement de surface - Onde cinématique

En mode mailles interactives, le transfert de l'écoulement de surface sur chacune des mailles est réalisé par le schéma de l’onde cinématique :

   image001  
     
   image002  

où désigne le debit (en m3/s), la surface de la section mouillée (en m2), Set Srespectivement la pente du fond et la pente de la ligne d’énergie (en m/m),l’abscisse (en m) et le temps (en s).

L'application de ce schéma à une structure de mailles carrées régulières a été proposée dans différents modèles, notamment r.water.fea (Vieux et Gaur, 1994), abc (Cappelaere et al.,2003), Marine (Estupina-Borrell, 2004; Roux et al., 2011). Dans MERCEDES, ce schéma est appliqué selon les principes suivants :

 
  •  on considère que chaque maille est traversée sur toute sa longueur par un canal rectangulaire de largeur λ, et de profondeur Pc. La direction du canal est déterminée par la direction de drainage déduite du MNT (donc 8 directions possibles, de 45 en 45°)
 
  • on néglige les temps de transferts de l’eau s’écoulant sur la maille vers le canal. Le temps de transfert sur la maille est donc le temps de transfert de l’écoulement en canal
   
   image003
   
  •  lorsque la hauteur de l’eau dans le canal dépasse la profondeur du canal, l’écoulement se fait alors dans une section lit mineur/lit majeur composée de 2 rectangles superposés. A partir de la version 4.2, le lit mineur et le lit majeur ont des coefficients de rugosité de Strickler différenciés, K1 pour le lit mineur, K2 pour le lit majeur.
   image004

NB : à partir de la version 4.2, ce type de schéma a été étendu au cas d’une section triangulaire, où est la largeur du lit mineur, la profondeur du lit mineur, et ila pente transverse du lit mineur, Kle coefficient de rugosité de Strickler du lit mineur, Kle coefficient de rugosité de Strickler du lit majeur.

.image005

A un pas de temps donné et pour une maille donnée, la hauteur d’eau est calculée par le bilan des apports amont (Qe), du débit de sortie (Qs), et du débit produit par la maille (Qp). Le débit produit par la maille résulte de l'application de la fonction de production au total de la pluie reçue augmentée éventuellement d'une partie des apports de débit provenant des mailles amont. Le coefficientγfixe la proportion des apports amont auxquels s'applique le schéma de production.

Si Qest le débit d'entrée et P l'intensité de la pluie reçue sur une maille donnée, le schéma de production qui règle l'infiltration est appliqué à la quantité image007, où A désigne la superficie de la maille

Si γ=0, alors le schéma de production ne s'applique qu'à la pluie reçue par la maille, et les apports des mailles amont sont intégralement transférés vers les mailles aval.

Si γ=1, alors la totalité des apports amont est susceptible d'être infiltrée, en fonction de l'état de remplissage du réservoir sol du schéma de production.

Les variations des volumes d’eau transitant sur la maille sont calculés par :

   image008
 

Vol(0) = 0 en début d'épisode

Qe(t) = somme des débits de sortie des mailles amont
Q
s(t) = débit de sortie de la maille considérée
Q
p(t) = intensité de la pluie efficace sur la maille considérée, calculée à partir de la pluie brute reçue par la maille et du schéma de production retenu pour la maille

NB Le mode continu ne s'applique pas actuellement aux fonctions onde cinématique, car les volumes transitant sur chaque maille sont systématiquement initialisés à 0 au début d'un nouvel épisode. Il existe cependant certaines possibilités d'initialiser Vol(0) à une valeur non nulle, en fonction de la valeur du débit de base à l'exutoire.

On en déduit la hauteur de l’écoulement dans le canal :

Cas d’une section rectangulaire

 image010

si hs(t) < Pc

où  λ est la largeur de la maille

 image011

si hs(t) > Pc

et le débit dans le canal, par application de la formule de Manning :

   image013  

si hs(t) < Pc

       
   image014  

si hs(t) > Pc

Cas d'une section triangulaire

   image015  

si hs(t) < Pc

 

où est la largeur de la maille

   
   image016  

si hs(t) > Pc

et le débit dans le canal, par application de la formule de Manning :

   image017  

si hs(t) < Pc

       
   image018  

si hs(t) >Pc

La résolution numérique du schéma est de type explicite, et le pas de temps de calcul doit satisfaire à la condition de Courant :

   image019

où Vi désigne la vitesse de l'écoulement, i décrivant l'ensemble des mailles



Ecoulement de sub-surface - Darcy

A partir de la version ATHYS 4.0, ont été introduites des fonctions de transfert comportant deux couches superposées destinées à simuler écoulement superficiel et écoulement de sub-surface, avec un modèle d'onde cinématique pour l’écoulement de surface et un modèle Darcy pour l’écoulement latéral de sub-surface. L'écoulement latéral de sub-surface contribue à l'alimentation ou à la vidange du réservoir sol.

L'application de ce schéma à une structure de mailles carrées régulières a été proposée dans différents modèles, notamment Topkapi (Liu et Todini, 2002) ou Marine (Roux et al., 2011). Dans MERCEDES, ce schéma est appliqué selon les principes suivants : le transfert de l'écoulement de surface est effectué par le modèle de l'onde cinématique (recatngulaire, triangulaire ou géomorphologique). On considère que l'écoulement de sub-surface correspond à la mise en mouvement du stock hydrique du sol, celui-ci étant calculé par la fonction de production couplée à la fonction de transfert multi-couches. On assimile le stock en eau à une zone saturée d'épaisseur variable, dont on calcule le mouvement par application de la loi de Darcy. Le flux de sub-surface est susceptible d'exfiltrer à la surface du sol si le profil vertical du sol est complètement saturé. Les directions de drainage et les pentes de la couche de sub-surface sont identiques à celles de la couche de surface.

Les paramètres de Darcy pour les écoulements de sub-surface sont :

Ks : conductivité hydraulique à saturation, en mm/h. Cette valeur représente la composante latérale de la conductivité hydraulique à saturation, et peut être différente de la composante verticale qui est éventuellement utilisée dans certaines fonctions de production (cas de Green & Ampt par exemple).

Ho : capacité de stockage maximale du sol, en équivalent eau, mm.Ce paramètre est issu de la fonction de production, et fourni automatiquement à la fonction de transfert. La table de correspondance est la suivante :

Fonction

Par1

Par2

Par3

Par4

Par5

Par6

Par7

Par8

Ho =

Réservoir-1

1

STO

INF

ω

ds

-

-

-

-

STO

Réservoir-2

2

STO

INF

ω

ds

-

-

-

-

STO

Réservoir-3

3

STO

INF

ω

ds

-

-

-

-

STO

Green&A.  

4

θ i

θ s

Ks

Ψ

Ho

ω

ds

-

Ho

TopModel

6

STO

Ks

f

ds

-

-

-

-

STO

SCS

7

S

CN

ω

ds

-

-

-

-

S

SCS

9

S

la

ω

ds

-

-

-

-

S

Althair

10

fo

fn

k

fv

-

-

-

-

(fn-fo)/k

Retenue1

32

STO

-

-

Qvid

-

-

-

-

STO/Smaille



Equations du schéma

image020

On suppose que le volume hydrique du sol est égal à Stoc(t) à l'instant t.

Les variations des volumes d’eau transitant en sub-surface dans une maille sont calculés par :

   image022
 

Stoc(0) = 0 en début d'épisode

Qes(t) = somme des débits de sub-surface en provenance des mailles amont
Q
ss(t) = débit de sub-surface en sortie de la maille considérée
Q
inf(t) = intensité d'infiltration calculée par le schéma de production retenu pour la maille

On en déduit la hauteur de la lame d'eau de sub-surface :

   image023

si Stoc(t) < Ho.L2

 

image024

 sinon

 Ce dernier cas correspond à l'exfiltration d'une partie de l'écoulement de sub-surface. La quantité exfiltrée doit alors être comptabilisée dans le bilan des volumes Vol(t) transitant en surface, qui devient :

 image025  image027
 image029  image031

Le débit de sub-surface est calculé par application de la loi de Darcy :

   image033

où I est la pente de la couche de sub-surface, égale à la pente de la couche de surface, et L la largeur de la maille.

La résolution numérique du schéma est de type explicite. Le pas de temps de calcul est le même que celui utilisé pour la couche de surface.


Débit total à l’exutoire d’un bassin

Il est convenu que le débit total à l’exutoire d’un bassin est la somme des débits des écoulements de surface et de sub-surface


Références bibliographiques

Cappelaere B., Vieux B.E., Peugeot C., Maia A., Séguis L., 2003. Hydrologic process simulation of a semiarid, endoreic catchment in Sahelian West Niger. 2. Model calibration and uncertainty characterization. Journal of Hydrology, Volume 279, Issues 1–4, 25, Pages 244-261

Estupina Borrell V., 2004. Vers une modélisation hydrologique adaptée à la prévision opérationnelle des crues éclair Application à de petits bassins versants du sud de la France. Thèse de l'Institut National Polytechnique de Toulouse, 254 pages

Liu Z., Todini E., 2002. Towards a comprehensive physically-based rainfall-runoff model. Hydrol.Earth Syst. Sci., 6, 859-881

H. Roux, D. Labat, P.-A. Garambois, M.-M. Maubourguet, J. Chorda, and D. Dartus, 2011. A physically-based parsimonious hydrological model for flash floods in Mediterranean catchments. Nat. Hazards Earth Syst. Sci., 11, 2567-2582, 2011

Vieux, B.E., Gaur, N., 1994. Finite-element modeling of storm water runoff using Grass GIS. Microcomput. Civil Engng 9 (4),263–270.

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