Fonctions de transfert – Mailles interactives
En mode maille interactives, MERCEDES propose 3 fonctions de transfert, couplant chacune un écoulement de surface et un écoulement de sub-surface. Ces 3 fonctions diffèrent principalement par le type de section utilisé pour l’écoulement de surface : rectangulaire, triangulaire, géomorphologique (le type géomorphologique propose une section rectangulaire, dont la largeur est calculée pour chaque maille à l’aide de la pente de la maille et de la superficie drainée en amont de la maille). Dans tous les cas, l’écoulement de surface est calculé à l’aide du modèle de l’onde cinématique, et l’écoulement de sub-surface à l’aide du modèle de Darcy.
Les fonctions proposées dans MERCEDES sont :
Onde cinématique rectangulaire + Darcy (6 paramètres) :
K1 : coefficient de rugosité de Strickler du lit mineur, en m1/3.s-1
λ : largeur du lit mineur rectangulaire, en m
Pc : profondeur du lit mineur rectangulaire, en m
γ : coefficient de contribution des apports amont au calcul du volume infiltré, adimensionnel
Ks : conductivité hydraulique latérale, en mm.h-1
K2 : coefficient de rugosité de Strickler du lit majeur, en m1/3.s-1
Onde cinématique triangulaire + Darcy (7 paramètres) :
K1 : coefficient de rugosité de Strickler du lit mineur, en m1/3.s-1
λ : largeur du lit mineur triangulaire, en m
Pc : profondeur du lit mineur rectangulaire, en m
γ : coefficient de contribution des apports amont au calcul du volume infiltré, adimensionnel
Ks : conductivité hydraulique latérale, en mm.h-1
K2 : coefficient de rugosité de Strickler du lit majeur, en m1/3.s-1
i2 : pente transverse du lit majeur, en m.m-1
Onde cinématique géomorphologique + Darcy (8 paramètres)
K1 : coefficient de rugosité de Strickler du lit mineur, en m1/3.s-1
λ0 : coefficient de largeur, en m.km-2
Pc : profondeur du lit mineur rectangulaire, en m
γ : coefficient de contribution des apports amont au calcul du volume infiltré, adimensionnel
Ks : conductivité hydraulique latérale, en mm.h-1
K2 : coefficient de rugosité de Strickler du lit majeur, en m1/3.s-1
α : exposant de la pente de la maille, adimensionnel
β : exposant de la superficie de la maille, adimensionnel
L’onde cinématique géomorphologique propose une section de type rectangulaire, dont la largeur λ est calculée pour chaque maille par :
|
λ = λ0.iα.Sβ |
où i désigne la pente de la maille (en m.m-1), et S la superficie drainée en amont de la maille (en km2)
NB : pour chacune des fonctions, les pentes des mailles sont calculées par le modèle à partir du MNT ou lues dans le fichier des pentes éventuellement déclaré dans le menu 1 de Mercedes. Le lit mineur et le lit majeur ont la même pente pour chaque maille.
NB : les directions de drainage des mailles sont identiques pour les écoulements de surface et de sub-surface, et sont déterminées par le fichier de drainage déclaré dans le menu 1 de MERCEDES
NB : pour désactiver l’écoulement de sub-surface, on choisira Ks = 0
NB : K2 = 0 signifie conventionnellement que K2 sera fixé égal à K1
Ecoulement de surface - Onde cinématique
En mode mailles interactives, le transfert de l'écoulement de surface sur chacune des mailles est réalisé par le schéma de l’onde cinématique :
 |
||
 |
où Q désigne le debit (en m3/s), A la surface de la section mouillée (en m2), S0 et Sf respectivement la pente du fond et la pente de la ligne d’énergie (en m/m),x l’abscisse (en m) et t le temps (en s).
L'application de ce schéma à une structure de mailles carrées régulières a été proposée dans différents modèles, notamment r.water.fea (Vieux et Gaur, 1994), abc (Cappelaere et al.,2003), Marine (Estupina-Borrell, 2004; Roux et al., 2011). Dans MERCEDES, ce schéma est appliqué selon les principes suivants :
|
 |
|||||||
|
 |
NB : à partir de la version 4.2, ce type de schéma a été étendu au cas d’une section triangulaire, où l est la largeur du lit mineur, p la profondeur du lit mineur, et i2 la pente transverse du lit mineur, K1 le coefficient de rugosité de Strickler du lit mineur, K2 le coefficient de rugosité de Strickler du lit majeur.
.
A un pas de temps donné et pour une maille donnée, la hauteur d’eau est calculée par le bilan des apports amont (Qe), du débit de sortie (Qs), et du débit produit par la maille (Qp). Le débit produit par la maille résulte de l'application de la fonction de production au total de la pluie reçue augmentée éventuellement d'une partie des apports de débit provenant des mailles amont. Le coefficientγfixe la proportion des apports amont auxquels s'applique le schéma de production.
Si Qe est le débit d'entrée et P l'intensité de la pluie reçue sur une maille donnée, le schéma de production qui règle l'infiltration est appliqué à la quantité 
, où A désigne la superficie de la maille
Si γ=0, alors le schéma de production ne s'applique qu'à la pluie reçue par la maille, et les apports des mailles amont sont intégralement transférés vers les mailles aval.
Si γ=1, alors la totalité des apports amont est susceptible d'être infiltrée, en fonction de l'état de remplissage du réservoir sol du schéma de production.
Les variations des volumes d’eau transitant sur la maille sont calculés par :
 |
|
|
Vol(0) = 0 en début d'épisode |
Qe(t) = somme des débits de sortie des mailles amont
Qs(t) = débit de sortie de la maille considérée
Qp(t) = intensité de la pluie efficace sur la maille considérée, calculée à partir de la pluie brute reçue par la maille et du schéma de production retenu pour la maille
NB : Le mode continu ne s'applique pas actuellement aux fonctions onde cinématique, car les volumes transitant sur chaque maille sont systématiquement initialisés à 0 au début d'un nouvel épisode. Il existe cependant certaines possibilités d'initialiser Vol(0) à une valeur non nulle, en fonction de la valeur du débit de base à l'exutoire.
On en déduit la hauteur de l’écoulement dans le canal :
Cas d’une section rectangulaire
 |
si hs(t) < Pc |
où λ est la largeur de la maille
 |
si hs(t) > Pc |
et le débit dans le canal, par application de la formule de Manning :
 |
si hs(t) < Pc |
||
 |
si hs(t) > Pc |
Cas d'une section triangulaire
 |
si hs(t) < Pc |
||
|
où L est la largeur de la maille |
|||
 |
si hs(t) > Pc |
et le débit dans le canal, par application de la formule de Manning :
 |
si hs(t) < Pc |
||
 |
si hs(t) >Pc |
La résolution numérique du schéma est de type explicite, et le pas de temps de calcul doit satisfaire à la condition de Courant :
 |
où Vi désigne la vitesse de l'écoulement, i décrivant l'ensemble des mailles |
Ecoulement de sub-surface - Darcy
A partir de la version ATHYS 4.0, ont été introduites des fonctions de transfert comportant deux couches superposées destinées à simuler écoulement superficiel et écoulement de sub-surface, avec un modèle d'onde cinématique pour l’écoulement de surface et un modèle Darcy pour l’écoulement latéral de sub-surface. L'écoulement latéral de sub-surface contribue à l'alimentation ou à la vidange du réservoir sol.
L'application de ce schéma à une structure de mailles carrées régulières a été proposée dans différents modèles, notamment Topkapi (Liu et Todini, 2002) ou Marine (Roux et al., 2011). Dans MERCEDES, ce schéma est appliqué selon les principes suivants : le transfert de l'écoulement de surface est effectué par le modèle de l'onde cinématique (recatngulaire, triangulaire ou géomorphologique). On considère que l'écoulement de sub-surface correspond à la mise en mouvement du stock hydrique du sol, celui-ci étant calculé par la fonction de production couplée à la fonction de transfert multi-couches. On assimile le stock en eau à une zone saturée d'épaisseur variable, dont on calcule le mouvement par application de la loi de Darcy. Le flux de sub-surface est susceptible d'exfiltrer à la surface du sol si le profil vertical du sol est complètement saturé. Les directions de drainage et les pentes de la couche de sub-surface sont identiques à celles de la couche de surface.
Les paramètres de Darcy pour les écoulements de sub-surface sont :
Ks : conductivité hydraulique à saturation, en mm/h. Cette valeur représente la composante latérale de la conductivité hydraulique à saturation, et peut être différente de la composante verticale qui est éventuellement utilisée dans certaines fonctions de production (cas de Green & Ampt par exemple).
Ho : capacité de stockage maximale du sol, en équivalent eau, mm.Ce paramètre est issu de la fonction de production, et fourni automatiquement à la fonction de transfert. La table de correspondance est la suivante :
|
Fonction |
N° |
Par1 |
Par2 |
Par3 |
Par4 |
Par5 |
Par6 |
Par7 |
Par8 |
Ho = |
|
Réservoir-1 |
1 |
STO |
INF |
ω |
ds |
- |
- |
- |
- |
STO |
|
Réservoir-2 |
2 |
STO |
INF |
ω |
ds |
- |
- |
- |
- |
STO |
|
Réservoir-3 |
3 |
STO |
INF |
ω |
ds |
- |
- |
- |
- |
STO |
|
Green&A. |
4 |
θ i |
θ s |
Ks |
Ψ |
Ho |
ω |
ds |
- |
Ho |
|
TopModel |
6 |
STO |
Ks |
f |
ds |
- |
- |
- |
- |
STO |
|
SCS |
7 |
S |
CN |
ω |
ds |
- |
- |
- |
- |
S |
|
SCS |
9 |
S |
la |
ω |
ds |
- |
- |
- |
- |
S |
|
Althair |
10 |
fo |
fn |
k |
fv |
- |
- |
- |
- |
(fn-fo)/k |
|
Retenue1 |
32 |
STO |
- |
- |
Qvid |
- |
- |
- |
- |
STO/Smaille |
Equations du schéma
On suppose que le volume hydrique du sol est égal à Stoc(t) à l'instant t.
Les variations des volumes d’eau transitant en sub-surface dans une maille sont calculés par :
 |
|
|
Stoc(0) = 0 en début d'épisode |
où
Qes(t) = somme des débits de sub-surface en provenance des mailles amont
Qss(t) = débit de sub-surface en sortie de la maille considérée
Qinf(t) = intensité d'infiltration calculée par le schéma de production retenu pour la maille
On en déduit la hauteur de la lame d'eau de sub-surface :
 |
si Stoc(t) < Ho.L2 |
|
|
|
sinon |
Ce dernier cas correspond à l'exfiltration d'une partie de l'écoulement de sub-surface. La quantité exfiltrée doit alors être comptabilisée dans le bilan des volumes Vol(t) transitant en surface, qui devient :
 |
 |
 |
 |
Le débit de sub-surface est calculé par application de la loi de Darcy :
 |
où I est la pente de la couche de sub-surface, égale à la pente de la couche de surface, et L la largeur de la maille.
La résolution numérique du schéma est de type explicite. Le pas de temps de calcul est le même que celui utilisé pour la couche de surface.
Débit total à l’exutoire d’un bassin
Il est convenu que le débit total à l’exutoire d’un bassin est la somme des débits des écoulements de surface et de sub-surface
Références bibliographiques
Cappelaere B., Vieux B.E., Peugeot C., Maia A., Séguis L., 2003. Hydrologic process simulation of a semiarid, endoreic catchment in Sahelian West Niger. 2. Model calibration and uncertainty characterization. Journal of Hydrology, Volume 279, Issues 1–4, 25, Pages 244-261
Estupina Borrell V., 2004. Vers une modélisation hydrologique adaptée à la prévision opérationnelle des crues éclair Application à de petits bassins versants du sud de la France. Thèse de l'Institut National Polytechnique de Toulouse, 254 pages
Liu Z., Todini E., 2002. Towards a comprehensive physically-based rainfall-runoff model. Hydrol.Earth Syst. Sci., 6, 859-881
H. Roux, D. Labat, P.-A. Garambois, M.-M. Maubourguet, J. Chorda, and D. Dartus, 2011. A physically-based parsimonious hydrological model for flash floods in Mediterranean catchments. Nat. Hazards Earth Syst. Sci., 11, 2567-2582, 2011
Vieux, B.E., Gaur, N., 1994. Finite-element modeling of storm water runoff using Grass GIS. Microcomput. Civil Engng 9 (4),263–270.